ЛОГІКА.
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ НА ЛОГІКУ
І. Вступ.
Розв’язуючи математичні задачі на
уроках математики, аналізуючи результати
дослідів, експериментів, лабораторних робіт на уроках фізики чи хімії,
спілкуючись з вчителями на інших уроках, ми часто чуємо: «логічно…», «не
логічно…», «логічні факти…», «логічні речі…», «цьому є логічне пояснення».
Розумію, що вчитель звертається до наших інтелектуальних здібностей: вміння
логічно мислити, приймати правильні рішення, робити висновки, аналізувати
події, результати міркувань. А хто не хоче розуміти себе, свій творчий
потенціал і вміння логічно мислити? Тому ми так
полюбляємо різні тести, на перевірку інтуїції і вміння логічно мислити в
тому числі. Зустрівши в котре подібний тест, я замислився. А що таке логіка,
логічні факти? Може це просто наша інтуїція? Чи це наука? Тоді що вона вивчає? Що
таке задачі на логіку? І як логічне мислення допомагає розв’язувати математичні
задачі? Так виникла ідея моєї роботи. Мета роботи: дати відповідь на деякі поставлені питання.
ІІ. Основна частина.
2.1
Логіка – наука про мислення.
Логіка – наука про мислення. Назва її походить від грецького
слова logos – «думка», «слово», «закон» тощо. Термін «логіка» вживається також
для позначення закономірностей об’єктивного світу: «логіка фактів», «логіка
речей»…; для позначення строгості, послідовності, закономірності процесу
мислення: «логіка мислення», «логіка міркування». Закономірний характер
мислення є своєрідним відображенням об’єктивних закономірностей. Логіка
мислення є відображення логіки речей. Але на відміну від інших наук, вивчаючих
мислення людини, наприклад, фізіології вищої нервової діяльності чи психології,
логіка вивчає мислення як засіб пізнання. Логіка пізнання мислення виникла і
розвивалась як філософська наука і в теперішній час являє собою складну систему
знань.
2.2
Історична довідка
Як самостійна наука логіка склалася більше двох тисяч років
тому в ІV ст. до н.д. Її засновником є давньогрецький філософ Аристотель
(384-322 рр. до н.д). В своїх працях, які отримали назву «Органон» («знаряддя
пізнання»), Аристотель сформулював основні закони мислення: тотожності,
протиріччя і виключеного третього – описав важливі логічні операції, розробив
теорію поняття і судження, змістовно дослідив дедуктивний (силогістичний)
умовивід. Аристотелеве вчення про силогізм склало основу логіки предикатів
(математична логіка). Великий вклад у розвиток логіки зробили такі античні
мислителі як Зенон, Хрисип, Гален, Порфірій, Боецій. В середні віки логіка
слугувала в основному релігійній схоластиці, тим самим удосконалюючи і
розвиваючи свої можливості. В Новий час значний вклад зробив Ф.Бекон (1561-1626),
розробивши на противагу дедуктивній логіці Аристотеля індуктивний метод,
принцип якого виклав у праці «Новий Оганон». Розроблені методи наукової
індукції, систематизовані пізніше англійським філософом і логіком Д.С.Міллем
(1806-1873) суттєво укріпили позиції логіки як окремої науки. Тим самим
дедуктивна логіка Аристотеля і індуктивна логіка Бекона-Мілля склали основу
загальноосвітньої дисципліни названої формальною логікою. Подальший розвиток логіки пов’язаний з
іменами таких видатних філософів як Р.Декарт, Г.Лейбніц, І.Кант. Р.Декарт
(1569-1650) розробив ідеї дедуктивної логіки, сформулювавши правила наукового
дослідження. Г.Лейбніц (1646-1716) висунув ідею математичної логіки. В другій
половині ХІХ ст. в логіці починають широко застосовуватися математичні методи обчислення.
Цей напрямок розроблений в працях Д.Буля, І.С.Джевонсонц, П.С.Порецкього,
Г.Фреге, Ч.Пірса, Б.Россела, Я.Лукашевича та ін. математиків і логіків.
2.3
Знайомство з алгеброю висловлювань
Зрозуміло: логіка – наука достатньо древня і сучасна
водночас. А що таке логічне мислення, логічні висловлювання, логічні задачі,
математична логіка?
Нехай маємо два речення: Перше А: «У трикутнику АВС 
А = 1200» і друге В: «
АВС – тупокутний». Очевидно, що з першого речення випливає
друге: оскільки в трикутнику АВС один кут тупий (А = 1200), то трикутник тупокутний. Говорять, що з
першого речення випливає друге, або
друге є логічним наслідком першого. Це означає, що А 
В. Отримали третє
складне речення (висловлювання) «А В», яке є істинним.
Твердження А при цьому називається припущенням,
або посилкою (умовою теореми,
наприклад), а речення В – логічним наслідком (висновком теореми).
Основним поняттям в математичній логіці є поняття простого
висловлювання, яке може бути «істинним» або «хибним». Поняття «істина» чи «хибність» в логіці є
первісними. З простих речень за допомогою певних логічних операцій можна
утворювати висловлювання довільної складності. При цьому використовують такі
операції: кон’юнкцію (позначається символом 
; відповідає сполучникові «і»); диз’юнкцію (позначається
символом 
; відповідає сполучникові «або», вжитому в нероздільному
значенні), заперечення (позначається горизонтальною рискою, яка
ставиться над висловлюванням і відповідає частці «не»), імплікацію
(слідування) (позначається знаком; відповідає сполучним словам «якщо…, то…», «з …випливає…») і
еквівалентність ( позначається символом 
; відповідає сполучним словам «…тоді і тільки тоді…» або
«…якщо і тільки якщо…»). Означення цих операцій можна записати у вигляді такої
таблиці істинності:
А
|
В
|
А
|
А
|
|
А
|
А
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
2.4
Задачі на логіку
Розв’язування задач на логіку – це своєрідна розумова
гімнастика, завдяки якій ми задовольняємо потребу в тренуванні сили власного
розуму . А розв’язування всякої математичної задачі – це ланцюжок міркувань.
Обчислення, які потрібно провести, неможливі без логічних міркувань.
Нехай потрібно розв’язати деяку логічну задачу, умова якої є
сукупність деяких тверджень, які вважаються істинними. Зрозуміло, що розв’язок
задачі – є логічним наслідком із умови.
Наприклад. Ігор, Андрій, Костя і Сашко
провели між собою шаховий турнір, в якому кожний з них набрав різне число очок.
Щодо розподілу місць є така інформація: 1) якщо Ігор не зайняв першого місця,
то Сашко має останнє; 2) або Костя зайняв перше місце, або Сашко – третє; 3)
якщо Андрій не був на першому місці, то Костя був на другому. Хто з них зайняв
яке місце?
Розв’язання: Беремо послідовно кожне речення і міркуємо
логічно:
1) «Якщо Ігор не зайняв першого
місця, то Сашко має останнє». Нехай Ігор – не І, тоді Сашко – ІV.
2) «Або Костя зайняв перше місце, або Сашко –
третє». З першого речення: Сашко – ІV, тому з другого – Костя – І.
3) «Якщо Андрій не був на першому
місці, то Костя був на другому». Оскілки перше місце вже зайнято, то Андрій не
на першому, тому Костя – ІІ, що неможливо. Отже, наше перше припущення
невірне.
Починаємо з іншого припущення:
1)
Ігор – І, отже Сашко – або ІІ, або ІІІ.
2)
«Або Костя зайняв перше місце, або Сашко – третє». Перше місце вже
зайнято, тому Костя зайняв не перше місце. А Сашко – ІІІ.
3)
«Якщо Андрій не був на першому місці, то Костя був на другому». Перше
місце вже зайнято, тому Костя – ІІ. Отже Андрій – ІV.
В результаті логічних
міркувань маємо: Ігор – І, Костя – ІІ, Сашко – ІІІ, Андрій – IV.
2.5
Задачі на розвиток логічного мислення.
Будь – яка задача, яка вимагає від нас аналізувати умову
задачі, міркувати, робити висновки вже
розвиває логічне мислення. Розглянемо деякі приклади задач.
Задача 1. Все вирішує час. Корабель
захопили пірати. Вам в руки дають пару пісчаних годинників: один годинник
відраховує рівно 4 хвилини, другий — 7.
Пірати вимагають, щоб ви сказали, коли пройде рівно 9 хвилин. Якщо ви це
зробите, вас звільнять. Якщо ні – вас кинуть до голодної акули. «Рахуйте
негайно, ніякої підготовки!» Що робити?
Розв’язання: 1)
Одночасно починаємо вимірювати 7 хвилин і два рази по 4 хвилини. 2) Через 7
хвилин перевертаємо пісчаний годинник на 7 хвилин, який через 1 хвилину (4 + 4
= 8) перевертаємо ще раз: піску в ньому
якраз на 1 хвилину. 8 + 1 = 9. Корабель вільний!
Задача
2. Лікар виписав Карлсону всього 4 пігулки двох видів (по
дві кожного виду), які зовсім не відрізняються одна від одної, і попередив, що,
якщо випити більше однієї пігулки одного виду — смерть, не випити пігулок —
смерть, випити за один раз менше норми — смерть. Пігулки необхідно прийняти за
два прийоми: вранці — 2 пігулки (по одній кожного виду) і ввечері — 2 (по одній
кожного виду). Нажаль, Карлсон переплутав пігулки. Як йому гарантовано
вилікуватися?
Розв’язання:
Виключаючи всі неможливі способи, робимо висновок: чотири пігулки, не
можливо розрізнити, але їх можна поламати навпіл. Наслідки таких міркувань
очевидні.
Задача
3. Вчений для власних дослідів замовив у майстра 10 однакових за вагою
різнокольорових кульок: 2 червоні, 2 зелені, 2 жовті, 2 сині та 2 фіолетові.
Нажаль, майстер помилився і зробив 2 кульки одного з кольорів важчими за
інші на 1 грам. У вченого є терези с
двома шальками, які показують, на скільки грамів відрізняється ваги шальок (і
яка з них важча). Як йому за одне зважування визначити, якого кольору дефектні
кульки?
Розв’язання:
Дві кульки одного кольору відкласти (наприклад, фіолетові). На одну шальку
терезів покласти 1 червону і 2 зелені кульки. На другу – 1 жовту і 2 сині. Якщо
терези в рівновазі, то фальшиві фіолетові. На важчій шальці лежать фальшиві
кульки. Наприклад, це перша: якщо вага відрізняється на 1 грам, то фальшиві
червоні кульки, якщо на – 2, то – зелені.
Задача
4. (Пошук різних способів розв’язання задачі). Довести, що площа
правильного восьмикутника дорівнює добутку довжин найбільшої та найменшої його
діагоналей.
Задача 5 (класичні приклади ) В купе їдуть
6 пасажирів, що живуть в різних містах в Москві, Петербурзі, Тулі, Києві, Ризі
та Одесі. Прізвища їх: Агєєв, Биков, Власов, Громов, Дубов, Єлисєєв. Відомо, що
: Агєєв та москвич – лікарі; Дубов та петербуржець – вчителі; Власов та тулик –
інженери; Биков та Єлисєєв – учасники війни, тулик не був в армії; рижанин
старше Агєєва, одесит старше Власова; Биков та москвич зійшли в Києві, Власов
та рижанин повинен зійти у Вінниці.
Визначити прізвище, професію та місце проживання кожного пасажира.
Створимо таблицю:
Задача розв’язується методом виключення. По горизонталі: у
москвича за умови (1) та (6) викреслюємо А і Б; у петербуржця за (2)
викреслюємо Д; у тулика за (3) і (4) викреслюємо В, Б, Є; у рижанина за (5) і
(6) викреслюємо А, В; у одесита за (5) викреслюємо В.
У відповідності з умовою (1) А – лікар, тому закреслюємо А у
вчителя та інженера; аналогічно, Д – у лікаря та інженера; В – у лікаря та
вчителя.
По вертикалі: 1) киянин – Власов та згідно (3) він інженер;
2) в горизонталі киянина можна закреслити всі букви крім В.
Тепер А не закреслена у одесита. Одесит Агєєв та за (1) він
лікар, в його строчці закреслюємо всі прізвища крім А.
Далі отримаємо, що рижанин Дубов і він вчитель. Задача
розв’язана.
2.6
Своя логіка – свої закони.
Всі ми з дитинства знаємо казку
відомого англійського письменника Льюіса Керролла «Аліса в країні чудес»
(«Задзеркалля»). Математичний багаж
Чарльза Лютвиджа Доджсона (псевдонім: Льюіс Керролл), накопичений їм за роки
навчання в школі і в Оксфордському університеті, не такий вже великий: він
майже повністю вичерпаний елементарною геометрією за Евклідом, початками
лінійної алгебри і елементарними відомостями з математичного аналізу. Але з
дитячих років він миттєво реагував на всякі порушення логіки в повсякденному
житті. Керролл розробив свою власну систему логіки. Мистецтво правильно
(логічно) міркувати, за Керроллом, як раз і означає вміння отримувати правильні
висновки з висловлювань не те, що хибних, але принаймні дещо незвичних.
Наприклад, з дивних висловлювань: «Жодна
з вимерлих тварин не може бути нещасливою в коханні. Устриця може бути щасливою
в коханні» випливає зовсім розумний висновок, а головне правильний: «Устриця не
вимерла тварина».
Правильно використовувати «неправильні» висловлювання, щоб
навчитися безперечно правильно міркувати і отримувати правильні висновки – ось
заповітна мрія логічних побудов Керролла. Керролл один з перших розробив
символічні та графічні методи розв’язання логічних задач, ввів таблиці
істинності і придумав багато ще чого, що входить до озброєння сучасної логіки.
Цікаві вправи Керролла для розвитку логічного
мислення:
Сформулювати (якщо це можливо)
наслідок (висновок) з кожної пари посилань.
1) Біль підточує сили людини. Ніяка біль не бажана.
2) Тим, хто лисий не потрібний
гребінець. Жодна ящірка не має волосся.
3) Всі неуважні люди допускають
помилки. Жодна уважна людина не забуває своїх обіцянок.
4) Мені Джон не подобається. Декому
з моїх друзів Джон не подобається.
5) Картопля – не ананас. Всі ананаси приємні на смак.
6) Всі мої друзі захворіли. Тому хто
хворіє не можна співати.
7) Всі ці страви відмінно
приготовані. Деякі страви, якщо їх
погано приготувати, шкідливі для здоров'я.
8) Всі ліки не приємні на смак. Олександрійський лист – ліки.
9) Всі розумні люди ходять на ногах. Всі нерозумні люди ходять на руках.
10)
Займайтесь своєю справою. Ця сварка – не ваша справа.
ІІІ. Висновки.
Логіка – наука, яка вчить, як треба міркувати, щоб
наше мислення було визначеним, зв’язним, послідовним, не містило протиріч та
могло бути доведеним. Як людина, що не знайома з правилами арифметики та
граматики, не може правильно рахувати і грамотно писати, так і людина, що не
знає правил логіки, не може без помилок міркувати та діяти. Особливо багато
таких логічних міркувань потрібно робити в математиці. Людині, що займається
математикою, приходиться визначати поняття, виявляти зв’язки між ними,
розглядати які групи, числа, рівняння можна створити. Найбільш часто в
математиці міркуваннями виводити різні формули, числові закономірності,
правила, доводити твердження. Без логіки не може бути математики! А це означає,
що для успішного вивчення математики треба наполегливо вчитися міркувати. Саме
вивчення математики дуже корисне для оволодіння правилами і законами мислення.
ІV. Список використаних джерел інформації.
Література
|
|
У світі математики: Збірник
науково-популярних статей. Випуск 13 – К.: Рад.шк.,1982. – 255с.
|
|
Буковська О.І. Логіка. 3 – 8
клас.: Національний технічний університет України «Київський політехнічний
інститут» ––К.: 2006. – 76с.
|
|
Л. Керолл. Логическая игра.:
Библиотека «Квант». Випуск 73 – М.: Наука, 1991. 192с.
|
|
Інтернет ресурс
|
http://www.refine.org.ua/pageid-2732-1.html
|
http://uk.wikipedia.org/wiki/Логіка
|
Немає коментарів:
Дописати коментар